Дифференциальные уравнения, допускающие низший порядок

Уравнения, допускающие низший порядок. Дифференциальные уравнения, не разрешимые относительно производной Что произойдет, если производная в точке x 0 не существует? Есть две возможности: Касательная к графику тоже не существует. Касательная становится вертикальной. Касательная не является исключением, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Первым делом найдем значение функции. Это уравнение касательной. В этот раз мы не будем подробно разбирать каждый шаг, просто укажем на основные этапы.

В этом нет ничего плохого - мы просто наткнулись на точку экстремума. Поэтому вполне естественно захотеть свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это можно сделать.

Смотрим их. Пример 1. Разделив переменные, получим. Интегрируя, имеем , или , что одно и то же. Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, получаем Пример 2. Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Тогда или. Иногда можно заметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения иными способами, чем рассмотренные выше. Покажем это на примерах. Мы получаем уравнение на порядок ниже и того типа, который мы обсуждали ранее. Уравнения и неравенства представляют собой алгебраический аппарат, язык, на который переводятся различного рода задачи, в том числе прикладные, и строятся их математические модели.

Используйте монотонность функций при решении уравнений и неравенств. Одна из наиболее распространенных идей хорошо иллюстрируется решением следующего простого неравенства: 1. Решите неравенство:.

Существует два стандартных способа решения этого неравенства: возведение в квадрат, если ; если , то неравенство выполняется, и замена неизвестного. Рассмотрим еще один способ, нестандартный. Функция в левой части монотонно возрастает, в первой - убывает.

Из очевидных графических соображений следует, что уравнение x 0 является решением данного уравнения, тогда решением данного неравенства является

Решим уравнение:. Докажем, что других решений не существует. Разделив обе части на , получим. Левая часть - монотонно убывающая функция. Следовательно, она принимает каждое значение один раз, т.е. это уравнение имеет только одно решение.

Посмотрим на функцию. Покажем другой способ: Полученная функция, очевидно, является убывающей, основание растет, под знаком логарифма функция убывает. Наше уравнение имеет вид: , поэтому. То, что уравнение B является следствием уравнения A, очевидно: любой корень из A удовлетворяет B. Докажем, что любой корень уравнения B удовлетворяет уравнению A. Теорема доказана. Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Существует несколько примеров использования этой теоремы.

Навигация

thoughts on “Дифференциальные уравнения, допускающие низший порядок

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *